时钟指针针尖能构成正三角形吗?

知乎日报
02月07 00:00
酱紫君

确实存在这样的正三角形

可是三根表针不是不能互为 120° 吗?

这也没错

只是构成正三角形不需要互为 120°

因为顶点构成的三角形可以压根不包含圆心.

剧透下答案


设 O 为表盘中心, 也就是原点.

设时针

的长度为

, 分针

的长度是

, 秒针

的长度是

.

分针转速是时针的 12 倍

秒针转速是分针的 60 倍

我们需要他成等边三角形


根据距离公式有

全部展开, 把第一项减掉化简一下

这玩意儿你敢信有整数解?

不过至少是个代数数.

因为你可以两边用 720 倍角公式展开成一个多项式, 然后实根就是你要的.


接下来不妨令

分析这个方程

化简以后惊奇的发现

也就是说和

压根没关系

( 你别告诉我这玩意儿除了

无解, 打爆你头哦


画出图像

这玩意儿根多了去了好吗, 然后你有空可以开始一个个检验这些根是不是满足等式

说实话我都不知道这些根怎么表达, 毕竟这是个七百多次方程的根


所以我选择数值求解, 最少可以搞出来这两个数值解

kmnt
1 1 1.2676871616804142 0.1723896285914506
1 1.900341028126867 1 1.8393113342898135

第一个解

, 换算成秒就是

, 换算成时间正好是 01 点 02 分 03 秒.

对应的图形是

01 点 02 分 03 秒

我发现这个图有个问题哦, 时间是对的, 但是这个钟不但倒下了而且还是逆时针转的.

离了个大谱

方程应该设

正常的钟应该这样显示


第二个解

, 换算成秒就是

, 换算成时间正好是 05 点 02 分 09 秒.

对应的图形是: